Jehlan

Z Wikina

Jehlan a základní vzorce pro výpočet souměrného čtyřbokého jehlanu, jehož základnu tvoří čtverec. Především prakticky, jednoduše, stručně a názorně. Včetně hmotnosti.

Souměrný jehlan se čtvercovou základnou se také nazývá pyramida.

Obsah 1 Pojmy 2 Značky 3 Vzorce pro výpočet 3.1 Základní vzorce 3.2 Odvozené a zpětné vzorce 3.2.1 Je známa strana nebo výška 3.2.2 Je známa plocha a objem 3.3 Hmotnost jehlanu 4 Výpočet v praxi 5 Odkazy 5.1 Reference 5.2 Související témata 5.3 Literatura 5.4 Internetové odkazy

Pojmy

• Jehlan je prostorové symetrické geometrické těleso.
• Čtverec je plošný rovinný obrazec.

Značky

• o ... osa jehlanu
• a ... strana podstavy/základny (délka hrany podstavy/základny)
• v ... výška jehlanu
• v_a ... délka boční plochy jehlanu (výška trojúhelníku stěny pláště)
• h ... délka šikmé hrany jehlanu (hrana stěny)
• O ... celková délka všech hran jehlanu
• P ... plocha podstavy/základny jehlanu
• Q_a ... povrch jedné stěny pláště jehlanu
• Q ... povrch pláště jehlanu (čtyři stěny)
• S ... celý povrch jehlanu (plášť + podstava)
• V ... objem jehlanu, nesprávně nazývaný obsah jehlanu
• α_a ... úhel mezi podstavou a stěnou
• α_h ... úhel mezi podstavou a šikmou hranou h

Vzorce pro výpočet

Základní vzorce

• Plocha podstavy jehlanu:   P = a²
• Délka šikmé hrany jehlanu:   h = √ (v² + a²/2)
• Celková délka všech hran jehlanu:   O = 4 × a + 4 × h = 4 (a + h)
• Délka boční stěny jehlanu:   v_a = √ (v² + a²/4)
• Povrch jedné stěny:   Q_a = v_a × a / 2
• Plocha pláště jehlanu:   Q = 4 × Q_a = 2 × a × v_a
• Celkový povrch/plocha jehlanu:   S = P + Q = a² + 2 a v_a = a (a + 2 v_a) = a (a + √ (a² + 4 v²)
• Objem jehlanu:   V = P × v / 3 = a² × v / 3

• sin α_a = v / v_a   nebo   tg α_a = 2 v / a
• sin α_h = v / h   nebo   tg α_h = 2 v / a √2

Odvozené a zpětné vzorce

Pro výpočet obvodu a plochy podstavy lze využít zpětné vzorce v článku Čtverec.
Zde jsou jen uvedeny vzorce pro těleso jehlanu.

Je známa strana nebo výška

• Strana jehlanu z výšky a objemu:  a =
• Strana jehlanu z výšky a pláště:  a =
• Strana jehlanu z výšky a povrchu:  a =
• Strana jehlanu z povrchu a pláště:  a =

• Výška jehlanu ze strany a objemu:  h =
• Výška jehlanu ze strany a pláště:  h =
• Výška jehlanu ze strany a povrchu:  h =

Je známa plocha a objem

Řešení leží v kubické rovnici. Pro nalezení strany a platí: 

(Podrobněji o řešení viz záložka Diskuse:Jehlan)

• Strana jehlanu z povrchu a objemu:

Připravujeme

Hmotnost jehlanu

Pro výpočet hmotnosti jehlanu je nutné znát hustotu ρ (měrnou hmotnost) materiálu, ze kterého je jehlan vytvořen.

• hmotnost jehlanu = hustota × objem jehlanu
• m [kg] = ρ [kg/m³] × V [m³]

Výpočet objemu jehlanu z jeho hmotnosti:

• objem jehlanu = hmotnost jehlanu / hustota
• V [m³] = m [kg] / ρ [kg/m³]

Výpočet v praxi

• připravujeme

Odkazy

Reference

Související témata

• Čtverec
• Krychle

Literatura

Internetové odkazy

• Jehlan výpočet - online