Diskuse:Válec

Z Wikina

Při odvozování výpočtu poloměru válce z povrchu a objemu narazíte na kubickou rovnici:

2 π r³ – r S + 2 V = 0

Tento typ rovnice se řeší obvykle pomocí Cardanových vzorců, avšak výpočet tedy není vůbec jednoduchý ani intuitivní. Pro výpočet válce jsme zvolili řešení kubické rovnice na bázi trigonometrie.

Obsah 1 Postup výpočtu 1.1 Diskriminant < 0 1.1.1 Pomocné proměnné 1.1.2 Kořeny 2 Odkazy 2.1 Reference 2.1.1 Teorie řešení 2.1.1.1 Trigonometrie 2.1.1.2 Cardanovy vzorce 2.1.2 Kalkulačky kubických rovnic 2.2 Související témata 2.3 Literatura 2.4 Internetové odkazy

Postup výpočtu

Nejprve vezměte jako vzor tento případ kubické rovnice:

x³ + px + q = 0

Pro lepší názornost je vhodná úprava prvního členu kubické rovnice válce, tak aby zůstal samostatně:

r³ – r S / 2 π + V / π = 0

za podmínek:

S > 0

V > 0

hledáme kořeny:

r > 0

Z toho vyplývají:

p = – S / 2 π

q = V / π

D = q²/4 – p³/27

obecně pro D (diskriminant) platí:

D > 0 ... existuje jen jeden reálný kořen (pro výpočet válce však nevyhovuje)

D = 0 ... existují tři reálné kořeny, které jsou shodné

D < 0 ... existují tři reálné kořeny, ale jen některé z nich splňují podmínku: r > 0

Diskriminant < 0

Jedná se o nejčastější případ.

Pomocné proměnné

e = (q²/4 – D)^1/2

f = (e)^1/3

g = arc cos(–q/2e)

i = cos(g/3)

j = √3 sin(g/3)

Kořeny

r₁  =  2 f i

r₂  =  –f (i – j)

r₃  =  –f (i + j)  →  r₃ < 0 (nepoužitelný kořen)

Odkazy

Reference

Teorie řešení

Trigonometrie

• http://www.1728.org/cubic2.htm

Cardanovy vzorce

• http://www.e-matematika.cz/stredni-skoly/jak-resit-kvadraticke-rovnice.php
• http://cs.wikipedia.org/wiki/Cardanovy_vzorce
• http://www.ias.ac.in/resonance/Volumes/15/04/0347-0350.pdf
• http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/cubic/

Kalkulačky kubických rovnic

• http://www.1728.org/cubic.htm
• http://equationsolver.intemodino.com/cz/resitel-kubickych-rovnic.html
• http://www.akiti.ca/Quad3Deg.html

Související témata

Literatura

Internetové odkazy

• Válec výpočet - online